Множество a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A ; или a принадлежит A , или A содержит a ). Если a A , то пишут (a не входит в A , A не содержит a a , b , c

Операции над множествами .

Универсальное множество

Универса́льное мно́жество

Диаграммы Венна. Тождества алгебры множеств и их доказательство.

Диаграмма Венна - схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств, показывают математические, теоретико-множественные или логические отношения между множествами.

Тождества и их доказательства.

Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения:

1. Коммутативность:

2. Ассоциативность

3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения

3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения

4. Законы действия с пустым и универсальным множествами

5. Закон идемпотентности

6. Закон де Моргана

7. Закон поглощения

,

8. Закон склеивания

,

9. Закон Порецкого

,

10. Закон двойного дополнения

Доказать следующее тождество .

Докажем это тождество аналитическим способом (используя равносильности алгебры множеств)

Понятие формального языка

Формальный язык - язык, характеризующийся точными правилами построения выражений и их понимания. Он строится в соответствии с четкими правилами, обеспечивая непротиворечивое, точное и компактное отображение свойств и отношений изучаемой предметной области (моделируемых объектов).

Формальный язык – основа создания программного обеспечения.

ФЯ образуется с помощью исходного набора букв а1, а2, …., а100, с помощью букв образуются слава. Слово в формальном языке – упорядоченный набор букв (Ящерица – 30 букв)

Для операции * слов справедлив ассоциативный закон.

Теория полугрупп и полуколец – основа теории ФЯ

Тавтологии

Тавтология – тождественно-истинное высказывание, которое всегда истинно.

Простейшая тавтология - выражение (A или не A ), представляющее закон исключённого третьего, где вместо A может быть подставлено любое выражение,могущее быть ложным или истинным, например свет включен или не включен , дважды два равно или не равно пяти . Тавтологией являются и законы математической логики выраженные через оператор эквивалентности: и т. п.

Понятие высказывательной формы или предиката от одной переменной. Примеры предикатов.

Предикат – высказывание зависящее от какой-то меняющейся переменной величины.

Одноместный предикат – отображение, по которому каждому значению переменой указывается единственное значение 0 или 1 .примеры:

Конъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката А(х) В(х), х Х является пересечение множеств истинности предикатов А(х) – Т1 и В(х) – Т2, т.е. Т= Т1 ∩Т2. Например: А(х): «х – четное число», В(х): « х кратно 3». А(х) В(х) – «х – четное число и х кратно 3». Т.е. предикат «х делится на 6».

Отрицанием предиката А(х) называется новый предикат, который принимает значение «истина» при всех значениях х Т, при которых предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если А(х) принимает значение «истина». Множеством истинности предиката, х Х является дополнение Т" к множеству Т в множестве Х.

Возьмём высказывания: `` Сократ - человек "", `` Платон - человек "". Оба эти высказывания выражают свойство ``быть человеком"". Таким образом, мы можем рассматривать предикат `` быть человеком "" и говорить, что он выполняется для Сократа и Платона.

25 область определения и область истинности предиката

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.

Множество всех элементов х Î М, при которых преди­кат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истиннос­ти предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х Î М, Р(х) = 1}.

Р(х): «х 2 + 1> 0, xÎ R»; область определения предиката М = R и область истинности – тоже R, т.к. неравенство верно для всех действительных чисел. Таким образом, для данного предиката М = I p . Такие предикаты называются тождественно истинными.

В(х): «х 2 + 1< 0, xÎ R»; область истинности I p =Æ, т.к. не существует действительных чисел, для которых выполняется неравенство. Такие предикаты называются тождественно ложными.

Кванторы. Двухместные предикаты. Определения уравнения, тождества и неравенства.

Ква́нтор - общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих выcказывание. Чаще всего упоминают:

· Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).

· Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).

Обозначим предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

1. любое натуральное число кратно 5;

2. каждое натуральное число кратно 5;

3. все натуральные числа кратны 5;

следующим образом:

.

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

1. существуют натуральные числа, кратные 5;

2. найдётся натуральное число, кратное 5;

3. хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись:

.

· Высказывание означает, что область значений переменной включена в область истинности предиката .

(«При всех значениях (x) утверждение верно»).

· Высказывание означает, что область истинности предиката непуста.

(«Существует (x) при котором утверждение верно»).

Операции над кванторами

Правило отрицания кванторов - применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:

Двухместный предикат – отображение, по которому каждой паре переменных указывается единственное значение 0 или 1.

Предикат является двухместным предикатом, предметной областью которого могут служить любые множества действительных чисел. Высказывание истинно, а высказывание ложно. Если вместо одной из переменных подставить число, то получится одноместный предикат.

Пересечение графов

Пусть G1(V1,E1) и G’2(V2’,E2’) – произвольные графы. Пересечением G1∩G’2 графов G1 и G’2 называется граф с множеством вершин V1∩V’2 с множеством ребер E = E1∩E’2

Свойства

· Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2 X ;

коммутативна :

· Операция пересечения множеств транзитивна (ассоциативность) :

· Универсальное множество X является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

· Таким образом булеан вместе с операцией пересечения множеств является абелевой группой;

· Операция пересечения множеств идемпотентна:

· Если - пустое множество, то

Остов и коостов графов.

Остов графа - такой его подграф, который является деревом.

Коостов – дополнение остова до графа.

Понятие множества. Операции над множествами. Универсальное множество.

Множество (N- натуральные,Z-целые,Q-рационал, R-действительные) – неопределяемое понятие, это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Простое множество не имеет ни одного элемента. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A ; или a принадлежит A , или A содержит a ). Если a не является элементом множества A , то пишут (a не входит в A , A не содержит a ). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a , b , c } обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные.

«пустое множество» - множество, не содержащее ни одного элемента, его обозначают

Способы задания: табличный, перечислением элементов, графический, рекуррентный, формулой.

Операции над множествами .

Пересечение множеств – множество, состоящее из элементов, которые принадлежат обоим множествам.

Для пересечения множеств справедливы:

· X∩Y=Y∩X - коммутативный закон

· (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z - ассоциативный закон

Объединение множеств – множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.

Для объединенных множеств справедливы:

· XUY = YUX - коммутативный закон

· (XUY) UZ = XU (YUZ) = XUYUZ - ассоциативный закон,

Универсальное множество

Универса́льное мно́жество - множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.

Универсальное множество – множество, которое содержит все элементы, из которых может состоять другое множество, т.е. полностью содержать все элементы универсального множества. .

Если при некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества, то это самое большое множество будем считать универсальным.

Универсальное множество обладает интересным свойством, которое не имеет аналогии в обычной алгебре, а именно, для любого множества X справедливо соотношение XU(объединение)I = I.

Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей внутри этого прямоугольника. Изображение множеств в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называется диаграммой Эйлера-Венна.

Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.

Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам и т.д. Каждый вид является некоторой совокупностью живых существ, рассматриваемой как единое целое.

Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845-1918), «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве натуральных чисел, множестве треугольников на плоскости.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а остальные множества – бесконечными. Например, множество китов в океане конечно, а множество рациональных чисел бесконечно. Конечные множества могут быть заданы перечислением их элементов (например, множество учеников в данном классе задается их списком в классном журнале). Если множество состоит из элементов , то пишут: . Бесконечные множества нельзя задать перечнем их элементов. Их задают обычно, указывая свойство, которым обладают все элементы данного множества, но не обладают никакие элементы, не принадлежащие этому множеству. Такое свойство называют характеристическим для рассматриваемого множества. Если - сокращенное обозначение предложения «элемент обладает свойством », то множество всех элементов, имеющих свойство , обозначают так: . Например, запись означает множество корней уравнения , т.е. множество . Может случиться, что не существует ни одного элемента, обладающего свойством (например, нет ни одного нечетного числа, которое делилось бы на 2). В этом случае во множестве нет ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Его обозначают знаком .

Если элемент принадлежит множеству , то пишут: , в противном случае пишут: или . Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными (совпадающими). Например, равны множество равносторонних треугольников и множество равноугольных треугольников, так как это одни и те же треугольники: если в треугольнике все стороны равны, то равны и все его углы; обратно, из равенства всех трех углов треугольника вытекает равенство всех трех его сторон. Очевидно, что равны два конечных множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком их элементов, например .

Всякий квадрат является прямоугольником. Говорят, что множество квадратов является частью множества прямоугольников, или, как говорят в математике, является подмножеством множества прямоугольников. Если множество является подмножеством множества , то пишут: или . Для любого множества верны включения и .

Из данных множеств и можно построить новые множества, применяя операции пересечения, объединения и вычитания. Пересечением множеств и называют их общую часть, т.е. множество элементов, принадлежащих как , так и . Это множество обозначают: . Например, пересечением двух геометрических фигур является их общая часть, пересечением множества ромбов с множеством прямоугольников – множество квадратов и т.д.

Объединением множеств и называют множество, составленное из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. В различных вопросах классификации используется представление множеств в виде объединения попарно непересекающихся подмножеств. Например, множество многоугольников является объединением множества треугольников, четырехугольников, ..., -угольников.

Если применять операции объединения и пересечения к подмножествам некоторого множества , то снова получатся подмножества того же множества . Эти операции обладают многими свойствами, похожими на свойства операций сложения и умножения чисел. Например, пересечение и объединение множеств обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, пересечение дистрибутивно относительно объединения, т.е. для любых множеств и верно соотношение и т.д. Но в то же время у операций над множествами есть ряд свойств, не имеющих аналогов в операциях над числами. Например, для любого множества верны равенства и , верен второй закон дистрибутивности и т.д.

С помощью свойств операций над множествами можно преобразовывать выражения, содержащие множества, подобно тому как с помощью свойств операций над числами преобразовывают выражения в обычной алгебре. Возникающая таким путем алгебра называется булевой алгеброй, по имени английского математика и логика Дж. Буля (1815-1864), который занимался ею в связи с проблемами математической логики. Булевы алгебры находят многочисленные применения, в частности в теории электрических сетей.

Основной характеристикой конечного множества является число его элементов (например, множество вершин квадрата содержит 4 элемента). Если в множествах и поровну элементов, например если , , то из элементов этих множеств можно составить пары , причем каждый элемент из , равно как и каждый элемент из , входит в одну, и только одну, пару. Говорят, что в этом случае между элементами множеств и установлено взаимно-однозначное соответствие. И наоборот, если между двумя конечными множествами и можно установить взаимно-однозначное соответствие, то в них поровну элементов.

Г. Кантор предложил аналогичным образом сравнивать между собой бесконечные множества. Говорят, что множества и имеют одинаковую мощность, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Сравнивая таким путем множества, составленные из чисел, Кантор показал, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством рациональных чисел, хотя множество натуральных чисел является лишь частью множества рациональных чисел. Таким образом, в теории бесконечных множеств теряет силу утверждение, что «часть меньше целого».

Множества, имеющие ту же мощность, что и множество натуральных чисел, называют счетными. Таким образом, множество рациональных чисел счетно. Важнейший пример несчетного множества – множество всех действительных чисел (или, что то же самое, множество точек на прямой линии). Так как прямая линия непрерывна, то такую несчетную мощность называют мощностью континуума (от латинского continuum - «непрерывный»). Мощность континуума имеют множества точек квадрата, куба, плоскости и всего пространства.

В течение долгих лет математики решали проблему: существует ли множество, мощность которого является промежуточной между счетной и мощностью континуума. В 60-х гг. нашего века американский математик П. Коэн и чешский математик П. Вопенка почти одновременно независимо друг от друга доказали, что как существование такого множества, так и отсутствие его не противоречат остальным аксиомам теории множеств (подобно тому, как принятие аксиомы о параллельных или отрицание этой аксиомы не противоречат остальным аксиомам геометрии).

Понятие множества относится к аксиоматическим понятиям математики.

Определение . Множество – такой набор, группа, коллекция элементов, которые обладают каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Обозначение: A , B .

Определение . Два множества A и B равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. A = B .

Запись a ∈ A (a ∉ A) означает, что a является (не является) элементом множества A.

Определение . Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается ∅.

Обычно в конкретных случаях элементы всех рассматриваемых множеств берутся из одного, достаточно широкого множества U, которое называется уни- версальным множеством .

Мощность множества обозначается как |M| .
Замечание : для конечных множеств мощность множества – это число элементов.

Определение . Если |A| = |B| , то множества называются равномощными .

Для иллюстрации операций над множествами часто используются диаграммы Эйлера – Венна . Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри его – кругов, представляющих множества.

Над множествами определены следующие операции:

Объединение А∪В: = {х/х∈А∨х∈В}

Пересечение А∩В: = {х/х∈А&х∈В}

Разность А\В: = {х/х∈А&х∈В}

Дополнение A U \ A: = {x / x U & x ∉ A}

Задача1.1. Дано: а)A,B⊆Z, A = {1;3;4;5;9}, B = {2;4;5;10}. б)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

Решение.

a) A∩B = {4;5}, A∪B = {1;2;3;4;5;9;10}, A \ B = {1;3;9}, B \ A = {2;10}, B = Z \ B ;

б) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = ,B Z\B = (-∞,2]∪(10,+∞).

1) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {1;2;5;7;9;11}, B = {1;4;6;7}.

б) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

2) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {3;6;7;10}, B = {2;3;10;12}.

б) A, B ⊆ R, A = .

Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

3) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {1;2;5;7;9;11}, B = {1;4;6;7}.

б) A, B ⊆ R, A = .

4) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {0;4;6;7}, B = {-3;3;7}.

б)A,B ⊆ R, A = [-15;0), B = [-2;1].

Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, A .

5) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {0;9}, B = {-6;0;3;9}.

б) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Найти: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

6) Дано: а)A, B ⊆ Z, A = {0;6;9}, B = {-6;0;3;7}.

б) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = .

Найти: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

7) Дано: а)A, B ⊆ Z, A = {-1;0;2;10}, B = {-1;2;9;10}.

б)A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15].

Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

8) Дано: а) A,B ⊆ Z, A = {1;2;9;37}, B = {-1;1;9;11;15}.

б) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7].

Найти: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

9) Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {-1;0;9;17}, B = {-1;1;9;10;25}.

б) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7].

Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

10) Дано: а)A,B⊆Z, A = {1;7;9;17}, B = {-2;1;9;10;25}.

б) A,B⊆R, A = .

Найти: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A .

Задача1.1. Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождество:

A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

Решение.

Построим диаграммы Венна.

Левая часть равенства представлена на рисунке а), правая – на рисунке б). Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей данного соотношения.

Задачи для самостоятельного решения

Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождества:

1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

2) A ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A\B) \C = (A\B) \ (B\C);

5) (A\B) \C = (A\B) ∪ (A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \C = (A\C) ∪ (B\C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

Задача 1.3. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги A, B, C. Результаты опроса оказались таковы: книгу A читали 25 учеников; книгу B читали 22 ученика; книгу C читали 22 ученика; книги A или B читали 33 ученика; книги A или C читали 32 ученика; книги B или C читали 31 ученик; все книги читали 10 учеников. Определите: 1) Сколько учеников прочли только книгу A?

2) Сколько учеников прочли только книгу B?

3) Сколько учеников прочли только книгу C?

4) Сколько учеников прочли только по одной книге?

5) Сколько учеников прочли хотя бы одну книгу?

6) Сколько учеников не прочитали ни одной книги?

Решение.

Пусть U - множество учеников в классе. Тогда

|U| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

Попробуем проиллюстрировать задачу.

Разобьём множество учеников, прочитавших хотя бы одну книгу, на семь подмножеств k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 , где

k 1 - множество учеников, прочитавших только книгу A;

k 3 - множество учеников, прочитавших только книгу B;

k 7 - множество учеников, прочитавших только книгу C;

k 2 - множество учеников, прочитавших книги A и B и не читавших книгу C;

k 4 - множество учеников, прочитавших книги A и C и не читавших книгу B;

k 6 - множество учеников, прочитавших книги B и C и не читавших книгу A;

k 5 - множество учеников, прочитавших книги A, B и C.

Вычислим мощность каждого из этих подмножеств.

|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;

|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |A ∩ B ∩ C|.

Тогда |k 1 | = |A| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |B| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |C| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.

Найдём |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ B| = | A| +| B| - |A ∩ B| = 25 + 22 - 33 = 14 ,

|A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∩ C| = 25 + 22 - 32 = 15 ,

|B ∩ C| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13 .

Тогда k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∪ C| .

Из рисунка ясно, что |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4, тогда |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 – число учеников, прочитавших хотя бы одну книгу.

Так как в классе 40 учеников, то 3 ученика не прочитали ни одной книги.

Ответ:

1. 6 учеников прочли только книгу A.
2. 5 учеников прочли только книгу B.
3. 4 ученика прочли только книгу C.
4. 15 учеников прочли только по одной книге.
5. 37 учеников прочли хотя бы одну книгу из A, B, C.
6. 3 ученика не прочитали ни одной книги.

Задачи для самостоятельного решения

1) В течение недели в кинотеатре шли фильмы A, B, C . Каждый из 40 школьни- ков видел либо все 3 фильма, либо один из трёх. Фильм A видели 13 школьников. Фильм B видели 16 школьников. Фильм C видели 19 школьников. Сколько школьников видели только по одному фильму?

2) В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 владеют русским языком, 48 – английским, 32 – немецким, 21 – русским и английским, 19 – английским и немецким, 15 – русским и немецким, а 10 человек владеют всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

3) В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трёх видов спорта: лёгкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют разряды по лёгкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Определите количество школьников из этой команды, имеющих разряды по всем видам спорта, если по лёгкой атлетике и плаванию разряды имеют 2 человека, по лёгкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека.

4) Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский – 28; немецкий – 30; французский – 42; испанский и немецкий – 8; испанскии и французский – 10; немецкий и французский – 5; все три языка – 3. Сколько студентов изучает немецкий язык в том и только том случае, если они изучают французский язык? 5) Опрос 100 студентов выявил следующие данные о числе студентов, изучающих различные иностранные языки: только немецкий – 18; немецкий, но не испанский – 23; немецкий и французский – 8; немецкий – 26; французский – 48; французский и испанский – 8; никакого языка – 24. Сколько студентов изучают немецкий и испанский язык?

6) В отчёте об опросе 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих различные языки, таково: все три языка – 5; немецкий и испанский – 10; французский и испанский – 8; немецкий и французский – 20; испанский – 30; немецкий – 23; французский – 50. Инспектор, представивший этот отчёт, был уволен. Почему?

7) В международной конференции участвовало 100 человек. Из них 42 владеют французским языком, 28 – английским, 30 – немецким, 10 – французским и английским, 8 – английским и немецким, 5 – французским и немецким, а 3 чело- века владеют всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

8) Студенты 1 курса, изучающие информатику в университете, могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 25 из них предпочли изучать бухгалтерию, 27 выбрали бизнес, а 12 решили заниматься туризмом. Кроме того, было 20 студентов, слушающих курс бухгалтерии и бизнеса, 5 изучали бухгалтерию и туризм, а 3 – туризм и бизнес. Известно, что никто из студентов не отважился посещать сразу 3 дополнительных курса. Сколько студентов посещали, по крайней мере, 1 дополнительный курс?
9) В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. Задачу по алгебре решили 20 человек, по геометрии – 18, по тригонометрии – 18 человек. Задачи по алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 8 человек, по геометрии и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили толь- ко две задачи?

10) В классе 40 учеников. Из них по русскому языку имеют тройки 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. 4 ученика имеют тройки только по одному русскому языку, 4 – только по математике и 11 – только по физике. По русскому, математике и физике имеют тройки 5 учащихся. 7 человек имеют тройки по математике и физике. Сколько учеников имеют тройки по двум из трёх предметов?

Теории

Существует два основных подхода к понятию множества - наивная и аксиоматическая теория множеств.

Аксиоматическая теория множеств

На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело - Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита , его элементы - маленькими. Если а - элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а∉А(а не принадлежит А).

Некоторые виды множеств

• Упорядоченное множество -- множество, на котором задано отношение порядка .
• Набор (в частности, упорядоченная пара). В отличие от просто множества записывается внутри круглых скобок: (x 1 , x 2 , x 3 , … ), а элементы могут повторяться.

По иерархии:

Множество множеств Подмножество Надмножество

По ограничению:

Операции над множествами

Литература

• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М .: Просвещение, 1968. - 232 с.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Элемент множества" в других словарях:

элемент множества - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] элемент множества Объект любой природы, который в совокупности с другими аналогичными объектами составляет множество. Часто вместо термина элемент в… …

Элемент множества - объект любой природы, который в совокупности с другими аналогичными объектами составляет множество. Часто вместо термина элемент в этом смысле употребляют «точка множества», «член множества» и др.… …

МНОЖЕСТВА, в математике совокупность определенных объектов. Эти объекты называются элементами множества. Число элементов может быть бесконечным или конечным, или даже равняться нулю (число элементов в пустом множестве обозначается 0). Каждый… … Научно-технический энциклопедический словарь

элемент - Обобщенный термин, под которым в зависимости от соответствующих условий может пониматься поверхность, линия, точка. Примечания 1. Элемент может быть поверхностью (частью поверхности, плоскостью симметрии нескольких поверхностей), линией (профилем … Справочник технического переводчика

Часть чего нибудь. Одна из возможных этимологий этого слова по названию ряда согласных латинских букв L, M, N (el em en). Элемент (философия) Элемент обязательная принадлежность флага, знамени и штандарта. Элемент множества Элементарные… … Википедия

Элемент - первичная (для данного исследования, модели) составная часть сложного целого. См. Элемент множества, Элемент системы … Экономико-математический словарь

Множество один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном… … Википедия

элемент - 02.01.14 элемент (знак символа или символ) : Отдельный штрих или пробел в символе штрихового кода либо одиночная многоугольная или круглая ячейка в матричном символе, формирующие знак символа в… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

А; м. [от лат. elementum стихия, первоначальное вещество] 1. Составная часть чего л.; компонент. Разложить целое на элементы. Из каких элементов состоит культура? Природа э. производства. Составные элементы чего л. // Характерное движение, одна… … Энциклопедический словарь

Что такое множество в математике? Математическое множество - это несколько отдельных элементов, рассматриваемых, как единое целое. Если обозначить такой элемент буквой a, а само множество - буквой А, то запись будет выглядеть следующим образом:

проговаривается эта запись так: a принадлежит А, или А содержит а, или а - элемент А.

Для перечисления элементов множества используются фигурные скобки - {}. То есть, например, множество, в котором а ∈ А, b ∈ A и c ∈ A, будет записываться в таком виде:

Виды множеств.

Пустые множества.

Пустое множество – это то множество, которое вообще не содержит никаких элементов. Обозначается оно цифрой 0 или специальным значком ∅.

Примером пустого множества может служить любое нелогичное понятие , противоречащее самому себе - «множество птиц, живущих на дне океана», или «множество деревьев на Луне». Поскольку оба множества лишены смысла и не отвечают реальности, то, следовательно, они являются пустыми. Скажем, количество деревьев на Луне – 0, поэтому «множество деревьев на Луне» будет пустым (не будет содержать ни одного элемента).

Равные множества.

Равные множества – это два или более множеств, состоящих из равных наборов элементов. Приведём пример. Скажем, все члены Вашей семьи находятся на кухне. Таким образом, Множество «Члены семьи на кухне» будет равно множеству «Члены семьи в квартире».

Если два множества - А и B - состоят из одинакового набора элементов, то они будут равны, то есть А = B. Элементы множеств могут перечисляться в любой последовательности, на результат это никак не влияет. Множество {a, b, c} можно с тем же успехом записать, как {a, c, b}, или {с, b, a}, или {b, c, a}.

Подмножества и надмножества.

Если множества А и B состоят из одинаковых элементов {a, b, c}, то А будет считаться подмножеством B, а B - надмножеством А. Записывается это следующим образом:

A ⊆ B, B ⊇ A.

Бывает так, что множество В содержит в себе каждый из элементов множества А, но в то же время в нем присутствуют и другие элементы, множеству А не принадлежащие. В этом случае множество В становится собственным надмножеством А, в то время как множество А становится собственным подмножеством В.

Иначе говоря, если А ⊆ В, но при этом А ≠ В, то А ⊂ В, В ⊃ А.