Как решать двойной модуль. Как решать уравнения с модулем: основные правила

Точилкина Юлия

В работе представлены различные способы решения уравнений с модулем.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 59»

Уравнения с модулем

Реферативная работа

Выполнила ученица 9А класса

МБОУ «СОШ № 59» г. Барнаула

Точилкина Юлия

Руководитель

Захарова Людмила Владимировна,

учитель математики

МБОУ «СОШ № 59» г. Барнаула

Барнаул 2015

Введение

Я учусь в девятом классе. В этом учебном году мне предстоит сдавать итоговую аттестацию за курс основной школы. Для подготовки к экзамену мы приобрели сборник Д. А. Мальцева Математика. 9 класс. Просматривая сборник, я обнаружила уравнения, содержащие не только один, но и несколько модулей. Учитель объяснила мне и моим одноклассникам, что такие уравнения называют уравнениями с «вложенными модулями». Такое название показалось для нас необычным, а решение на первый взгляд, довольно сложным. Так появилась тема для моей работы «Уравнения с модулем». Я решила глубже изучить эту тему, тем более, что она мне пригодится при сдаче экзаменов в конце учебного года и думаю, что понадобится в 10 и 11 классах. Все сказанное выше определяет актуальность выбранной мною темы.

Цель работы :

Рассмотреть различные методы решения уравнений с модулем.
Научиться решать уравнения, содержащие знак абсолютной величины, различными методами

Для работы над темой были сформулированы следующие задачи:

Задачи:

Изучить теоретический материал по теме «Модуль действительного числа».
Рассмотреть методы решения уравнений и закрепить полученные знания решением задач.
Полученные знания применять при решении различных уравнений, содержащих знак модуля в старших классах

Объект исследования: методы решения уравнений с модулем

Предмет исследования: уравнения с модулем

Методы исследования:

Теоретические : изучение литературы по теме исследования;

Internet – информации.

Анализ информации, полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении уравнений с модулем различными способами.

Сравнение способов решения уравнений предмет рациональности их использования при решении различных уравнений с модулем.

«Мы начинаем думать, когда обо что-то стукнемся». Поль Валери.

1. Понятия и определения.

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль– исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления…

В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

Определение1 : Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥0, или противоположное число – а , если а модуль нуля равен нулю.

При решении уравнений с модулем, удобно использовать свойства модуля.

Рассмотрим доказательства 5,6, 7 свойств.

Утверждение 5. Равенство │ а+в │=│ а │+│ в │ является верным, если ав ≥ 0.

Доказательство. Действительно, после возведения обеих частей данного равенства в квадрат, получим, │ а+в │²=│ а │²+2│ ав │+│ в │²,

а²+ 2 ав+в²=а²+ 2│ ав │+ в², откуда │ ав │= ав

А последнее равенство будет верным при ав ≥0.

Утверждение 6. Равенство │ а-в │=│ а │+│ в │ является верным при ав ≤0.

Доказательство. Для доказательства достаточно в равенстве

│ а+в │=│ а │+│ в │ заменить в на - в, тогда а· (- в ) ≥0, откуда ав ≤0.

Утверждение 7.Равенство │ а │+│ в │= а+в выполняется при а ≥0 и в ≥0.

Доказательство . Рассмотрев четыре случая а ≥0 и в ≥0; а ≥0 и в а в ≥0; а в а ≥0 и в ≥0.

(а-в ) в ≥0.

Геометрическая интерпретация

|а| - это расстояние на координатной прямой от точки с координатой а , до начала координат.

|-а| |а|

А 0 а х

Геометрическое толкование смысла |а| наглядно подтверждает, что |-а|=|а|

Если а 0, то на координатной прямой существует две точки а и –а, равноудаленные от нуля, модули которых равны.

Если а=0, то на координатной прямой |а| изображается точкой 0.

Определение 2: Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например: |х +3|=1

Определение 3: Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

2. Методы решения

Из определения и свойств модуля вытекают основные методы решения уравнений с модулем:

«Раскрытие» модуля (т.е. использование определения);
Использование геометрического смыла модуля (свойство 2);
Графический метод решения;
Использование равносильных преобразований (свойства 4,6);
Замена переменной (при этом используется свойство 5).
Метод интервалов.

Я решила достаточно большое количество примеров, но в работе представляю вашему вниманию только несколько, на мой взгляд, типичных примеров, решенных различными способами, потому что остальные дублируют друг друга и чтобы понять, как решать уравнения с модулем нет необходимости рассматривать все решенные примеры.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ | f(x)| = a

Рассмотрим уравнение | f(x)| = a, а R

Уравнение данного вида может быть решено по определению модуля:

Если а то уравнение корней не имеет.

Если а= 0, то уравнение равносильно f(x)=0.

Если а>0, то уравнение равносильно совокупности

Пример. Решить уравнение |3х+2|=4.

Р е ш е н и е.

|3х+2|=4, тогда 3х+2=4,

3х+2= -4;

Х=-2,

Х=2/3

О т в е т: -2;2/3.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ с ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СВОЙСТВА МОДУЛЯ.

Пример 1. Решить уравнение /х-1/+/х-3/=6.

Решение.

Решить данное уравнение значит найти все такие точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от нее до точек с координатами 1 и 3 равна 6.

Ни одна точка из отрезка не удовлетворяет этому условию, т.к. сумма указанных расстояний равна 2. Вне этого отрезка есть две точки это 5 и -1.

1 1 3 5

Ответ: -1;5

Пример 2. Решить уравнение |х 2 +х-5|+|х 2 +х-9|=10.

Решение.

Обозначим х 2 +х-5= а, тогда / а /+/ а-4 /=10. Найдем точки на оси Ох такие, что для каждой из них сумма расстояний до точек с координатами 0 и 4 равна 10. Этому условию удовлетворяют -4 и 7.

3 0 4 7

Значит х 2 +х-5= 4 х 2 +х-5=7

Х 2 +х-2=0 х 2 +х-12=0

Х 1= 1, х 2= -2 х 1= -4, х 2= 3 Ответ:-4;-2; 1; 3.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ | f (x )| = | g (x )|.

Так как | а |=|в |, если а= в, то уравнение вида | f (x )| = | g (x )| равносильно совокупности

Пример1.

Решить уравнение | x –2| = |3 – х |.

Р е ш е н и е.

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

х – 2 = 3 – х (1) и х – 2 = –3 + х (2)

2 х = 5 –2 = –3 – неверно

х = 2,5 уравнение не имеет решений.

О т в е т: 2,5.

Пример 2.

Решить уравнение |х 2 +3х-20|= |х 2 -3х+ 2|.

Р е ш е н и е.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то возведение в квадрат является равносильным преобразованием:

(х 2 +3х-20) 2 = (х 2 -3х+2) 2

(х 2 +3х-20) 2 - (х 2 -3х+2) 2 =0,

(х 2 +3х-20-х 2 +3х-2) (х 2 +3х-20+х 2 -3х+2)=0,

(6х-22)(2х 2 -18)=0,

6х-22=0 или 2х 2 -18=0;

Х=22/6, х=3, х=-3.

Х=11/3

Ответ: -3; 3; 11/3.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА | f (x )| = g (x ).

Отличие данных уравнений от | f(x)| = a в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому в ее неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1 )

1 способ

Решение уравнения | f (x )| = g (x ) сводится к совокупности решения уравнений и проверке справедливости неравенства g (x )>0 для найденных значений неизвестной.

2 способ (по определению модуля)

Так как | f (x )| = g (x ), если f (x) = 0; | f (x )| = - f (x ), если f (x )

Пример.

Решить уравнение |3 х –10| = х – 2.

Р е ш е н и е.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

О т в е т: 3; 4.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(х)

Решение уравнений данного вида основано на определении модуля. Для каждой функции f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) необходимо найти область определения, ее нули и точки разрыва, разбивающие общую область определения на промежутки, в каждом из которых функции f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) сохраняют свой знак. Далее используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке. Данный метод получил название « метод интервалов »

Пример .

Решить уравнение |х-2|-3|х+4|=1.

Р е ш е н и е.

Найдем точки, в которых подмодульные выражения равны нулю

х-2=0, х+4=0,

х=2; х=-4.

Разобьем числовую прямую на промежутки х

Решение уравнения сводится к решению трех систем:

О т в е т: -15, -1,8.

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ.

Графический способ решения уравнений является приближенным, так ка точность зависит от выбранного единичнрого отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д. Но этот метод позволяет оценивать сколько решений имеет то или иное уравнение.

Пример . Решить графически уравнение |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Решение. Построим в одной системе координат графики функций

у=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| и у=9.

Для построения графика необходимо рассмотреть данную функцию на каждом промежутке (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞ )

Ответ: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Метод равносильных преобразований мы использовали и при решении уравнений | f (x )| = | g (x )|.

УРАВНЕНИЯ СО «СЛОЖНЫМ МОДУЛЕМ»

Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя различные методы.

Пример 1.

Решить уравнение ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Решение.

По определению модуля, имеем:

Решим первое уравнение.

||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

х = 7.

Решим второе уравнение.

||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | –2 = 1 ,

| x | = 3 и | x | = 1,

х = 3; х = 1.

О т в е т: 1; 3; 7.

Пример 2.

Решить уравнение |2 – |x + 1|| = 3.

Р е ш е н и е.

Решим уравнение с помощью введения новой переменной.

Пусть | x + 1| = y , тогда |2 – y | = 3, отсюда

Выполним обратную замену:

(1) | x + 1| = –1 – нет решений.

(2) | x + 1| = 5

О т в е т: –6; 4.

Пример3 .

Сколько корней имеет уравнение | 2 | х | -6 | = 5 - х?

Решение. Решим уравнение, используя схемы равносильности.

Уравнение | 2 | х | -6 | = 5 -х равносильно системе:

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.

Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х 1 =0, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

х 1 =2, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.

Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.

Процесс решения

Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения.

Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Решить онлайн его можно на одном из многочисленных современных ресурсов. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем. Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены.

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле , то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Если k=0 , то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2 .
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2 .
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1) , т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение

Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших - положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3 .
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3) . Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7 .
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5 . Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9 .
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3) .Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5 . Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7 .
Оба значения не попадают в промежуток , то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5 . Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3 .
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5 , его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3 .
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с < 0

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.