Я думаю, вы заслуживаете больше, чем это. Вот мой ключ к тригонометрии:

• Нарисуйте купол, стену и потолок
• Тригонометрические функции - это не что иное, как процентное отношение этих трех форм.

Метафора для синуса и косинуса: купол

Вместо того, чтобы просто смотреть на сами треугольники, представьте их в действии, найдя какой-то частный пример из жизни.

Представьте, будто вы находитесь посередине купола и хотите подвесить экран для кинопроектора. Вы указываете пальцем на купол под неким углом “x”, и к этой точке должен быть подвешен экран.

Угол, на который вы указываете, определяет:

• синус(x) = sin(x) = высота экрана (от пола до точки крепления на куполе)
• косинус(x) = cos(x) = расстояние от вас до экрана (по полу)
• гипотенуза, расстояние от вас к верхушке экрана, всегда одинаковое, равно радиусу купола

Хотите, чтобы экран был максимально большой? Повесьте его прямо над собой.

Хотите, чтобы экран висел на максимально большом расстоянии от вас? Вешайте его прямо перпендикулярно. У экрана будет нулевая высота в этом положении, и он будет висеть наиболее отдаленно, как вы и просили.

Высота и расстояние от экрана обратно пропорциональны: чем ближе висит экран, тем его высота будет больше.

Синус и косинус - это проценты

Никто в годы моей учебы, увы, не объяснил мне, что тригонометрические функции синус и косинус - это не что иное, как проценты. Их значения варьируются от +100% до 0 и до -100%, или от положительного максимума до нуля и до отрицательного максимума.

Скажем, я заплатил налог 14 рублей. Вы не знаете, насколько это много. Но если сказать, что я заплатил 95% в качестве налога, вы поймете, что меня просто ободрали, как липку.

Абсолютная высота ни о чем не говорит. Но если значение синуса составляет 0.95, то я понимаю, что телевизор висит почти на верхушке вашего купола. Очень скоро он достигнет максимальной высоты по центру купола, а затем начнет снова снижаться.

Как мы можем вычислить этот процент? Очень просто: поделите текущее значение высоты экрана на максимально возможное (радиус купола, который также называют гипотенузой).

Вот почему нам говорят, что “косинус = противоположный катет / гипотенуза”. Это всё для того, чтобы получить процент! Лучше всего определить синус как “процент текущей высоты от максимально возможной”. (Синус становится отрицательным, если ваш угол указывает “под землю”. Косинус становится отрицательным, если угол указывает на точку купола позади вас).

Давайте упростим расчеты, предположив, что мы находимся в центре единичной окружности (радиус = 1). Мы можем пропустить деление и просто взять синус, равный высоте.

Каждая окружность, по сути, является единичной, увеличенной или уменьшенной в масштабе до нужного размера. Поэтому определите связи наединичной окружности и примените результаты к вашему конкретному размеру окружности.

Поэкспериментируйте: возьмите любой угол и посмотрите, какое процентное соотношение высоты к ширине он отображает:

График роста значения синуса - не просто прямая линия. Первые 45 градусов покрывают 70% высоты, а последние 10 градусов (с 80°до 90°) покрывают всего 2%.

Так вам станет понятнее: если идти по кругу, при 0° вы подымаетесь почти вертикально, но по мере подхода к верхушке купола, высота изменяется всё меньше и меньше.

Тангенс и секанс. Стена

Однажды сосед построил стену прямо впритык к вашему куполу. Плакали ваш вид из окна и хорошая цена для перепродажи!

Но можно ли как-то выиграть в этой ситуации?

Конечно, да. А что, если мы повесим киноэкран прямо на соседскую стену? Вы нацеливаетесь на угол (х) и получаете:

• тангенс(x) = tan(x) = высота экрана на стене
• расстояние от вас до стены: 1 (это радиус вашего купола, стена никуда не двигается от вас, верно?)
• секанс(x) = sec(x) = “длина лестницы” от вас, стоящего в центре купола, до верхушки подвешенного экрана

Давайте уточним пару моментов касательно тангенса, или высоты экрана.

• он начинается на 0, и может подниматься бесконечно высоко. Вы можете растягивать экран все выше и выше на стене, чтобы получить просто бесконечное полотно для просмотра любимого фильма! (На такой огромный, конечно, придется прилично потратиться).
• тангенс - это просто увеличенная версия синуса! И пока прирост синуса замедляется по мере продвижения к верхушке купола, тангенс продолжает расти!

Секансу тоже есть, чем похвастаться:

• cеканс начинается с 1 (лестница лежит на полу, от вас к стене) и начинает подниматься оттуда
• cеканс всегда длиннее тангенса. Наклоненная лестница, с помощью которой вы вешаете свой экран, должна быть длиннее, чем сам экран, верно? (При нереальных размерах, когда экран оооочень длинный, и лестницу нужно ставить практически вертикально, их размеры почти одинаковы. Но даже тогда секанс будет чуточку длиннее).

Помните, значения являются процентами . Если вы решили повесить экран под углом 50 градусов, tan(50)=1.19. Ваш экран на 19% больше, чем расстояние к стене (радиус купола).

(Введите x=0 и проверьте свою интуицию - tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)

Котангенс и косеканс. Потолок

Невероятно, но ваш сосед теперь решил возвести перекрытие над вашим куполом. (Что с ним такое? Он, видимо, не хочет, чтобы вы за ним подглядывали, пока он разгуливает по двору голышом…)

Ну что ж, настало время построить выход на крышу и поговорить с соседом. Вы выбираете угол наклона, и начинаете строительство:

• вертикальное расстояние между выходом на крыше и полом всегда равно 1 (радиусу купола)
• котангенс(x) = cot(x) = расстояние между верхушкой купола и местом выхода
• косеканс(x) = csc(x) = длина вашего пути на крышу

Тангенс и секанс описывает стену, а КОтангенс и КОсеканс описывает перекрытие.

Наши интуитивные умозаключения в этот раз похожи на предыдущие:

• eсли вы возьмете угол, равный 0°, ваш выход на крышу будет длиться бесконечно, так как никогда не достигнет перекрытия. Проблемка.
• cамый короткий “трап” на крышу получится, если строить его под углом 90 градусов к полу. Котангенс будет равен 0 (мы вообще не передвигаемся вдоль крыши, выходим строго перпендикулярно), а косеканс равен 1 (“длина трапа” будет минимальной).

Визуализируйте связи

Если все три случая нарисовать в комбинации купол-стена-перекрытие, получится следующее:

Ну надо же, это всё один тот же треугольник, увеличенный в размере, чтобы достать до стены и до перекрытия. У нас есть вертикальные стороны (синус, тангенс), горизонтальные стороны (косинус, котангенс) и “гипотенузы” (секанс, косеканс). (По стрелкам вы можете видеть, докуда доходит каждый элемент. Косеканс - это полное расстояние от вас до крыши).

Немного волшебства. Все треугольники объединяют одни и те же равенства:

Из теоремы Пифагора (a 2 + b 2 = c 2) мы видим, как связаны стороны каждого треугольника. Кроме того, соотношения типа “высота к ширине” должны быть также одинаковыми для всех треугольников. (Просто отступите от самого большого треугольника к меньшему. Да, размер изменился, но пропорции сторон останутся прежними).

Зная, какая сторона в каждом треугольнике равна 1 (радиусу купола), мы легко вычислим, что “sin/cos = tan/1”.

Я всегда пытался запомнить эти факты путем простой визуализации. На картинке ты четко видишь эти зависимости, и понимаешь, откуда они берутся. Этот прием гораздо лучше заучивания сухих формул.

Не стоит забывать о других углах

Тсс… Не нужно зацикливаться на одном графике, думая, что тангенс всегда меньше 1. Если увеличить угол, можно дойти до потолка, не достигнув стены:

Связи Пифагора всегда работают, но относительные размеры могут быть разными.

(Вы, наверное, заметили, что соотношение синус и косинус всегда самые маленькие, потому что они заключены внутри купола).

Подытожим: что нам нужно запомнить?

Для большинства из нас, я бы сказал, что этого будет достаточно:

• тригонометрия поясняет анатомию математических объектов, таких как окружности и повторяющиеся интервалы
• аналогия купол/стена/крыша показывает связь между различными тригонометрическими функциями
• результатом тригонометрических функций являются проценты, которые мы применяем к нашему сценарию.

Вам не нужно запоминать формулы, типа 1 2 + cot 2 = csc 2 . Они годятся разве что для глупых тестов, в которых знание факта выдаётся за его понимание. Потратьте минутку, чтобы нарисовать полуокружность в виде купола, стену и крышу, подпишите элементы, и все формулы сами напросятся вам на бумагу.

Приложение: обратные функции

Любая тригонометрическая функция использует в качестве входного параметра угол и возвращает результат в виде процента. sin(30) = 0.5. Это означает, что угол в 30 градусов занимает 50% от максимальной высоты.

Обратная тригонометрическая функция записывается как sin -1 или arcsin (“арксинус”). Также часто пишут asin в различных языках программирования.

Если наша высота составляет 25% от высоты купола, каков наш угол?

В нашей табличке пропорций можно найти соотношение, где секанс делится на 1. Например, секанс на 1 (гипотенуза к горизонтали) будет равно 1 поделить на косинус:

Допустим, наш секанс равен 3.5, т.е. 350% от радиуса единичной окружности. Какому углу наклона к стене это значение соответствует?

Приложение: Несколько примеров

Скучная задачка. Давайте усложним банальное “найти синус” до “Какая высота в процентах от максимума (гипотенузы)?”.

Во-первых, заметьте, что треугольник повернут. В этом нет ничего страшного. Всё также у треугольника есть высота, она на рисунке указана зеленым.

А чему равна гипотенуза? По теореме Пифагора, мы знаем, что:

3 2 + 4 2 = гипотенуза 2 25 = гипотенуза 2 5 = гипотенуза

Хорошо! Синус - это процент высоты от самой длинной стороны треугольника, или гипотенузы. В нашем примере синус равен 3/5 или 0.60.

Конечно, мы можем пойти несколькими путями. Теперь мы знаем, что синус равен 0.60, и мы можем просто найти арксинус:

Asin(0.6)=36.9

А вот еще один подход. Заметьте, что треугольник стоит “лицом к лицу к стене”, так что вместо синуса мы можем использовать тангенс. Высота равна 3, расстояние стене - 4, так что тангенс равен ¾ или 75%. Мы можем использовать арктангенс, чтобы из процентного значения вернуться обратно в угол:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Пример: А доплывете ли вы до берега?

Вы в лодке, и у вас есть достаточно топлива, чтобы проплыть 2 км. Сейчас вы находитесь в 0.25 км от берега. Под каким максимальным углом к берегу вы можете доплыть до него так, чтобы хватило топлива? Дополнение к условию задачи: у нас в наличии есть только таблица значений арккосинусов.

Что мы имеем? Береговую линию можно представить как “стену” в нашем знаменитом треугольнике, а “длину лестницы”, приставленной к стене - максимально возможным преодолимым расстоянием на лодке к берегу (2 км). Вырисовывается секанс.

Сначала, нужно перейти на проценты. У нас есть 2 / 0.25 = 8, то есть мы можем проплыть расстояние, в 8 раз больше прямой дистанции до берега (или до стены).

Возникает вопрос “Чему равен секанс 8?”. Но мы не можем дать на него ответ, так как у нас есть только арккосинусы.

Мы используем наши ранее выведенные зависимости, чтобы привязать секанс к косинусу: “sec/1 = 1/cos”

Секанс 8 равен косинусу ⅛. Угол, косинус которого ⅛ равен acos(1/8) = 82.8. И это самый большой угол, который мы можем себе позволить на лодке с указанным количеством горючего.

Неплохо, правда? Без аналогии с куполом-стеной-потолком, я бы запутался в куче формул и вычислений. Визуализация задачи сильно упрощает поиск решения, к тому же, интересно увидеть, какая тригонометрическая функция в итоге поможет.

При решении каждой задачи думайте следующим образом: меня интересует купол (sin/cos), стена (tan/sec) или потолок (cot/csc)?

И тригонометрия станет куда приятнее. Легких вам вычислений!

Понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются основными категориями тригонометрии — раздела математики, и неразрывно связаны с определением угла. Владение этой математической наукой требует запоминания и понимания формул и теорем, а также развитого пространственного мышления. Именно поэтому у школьников и студентов тригонометрические вычисления нередко вызывают трудности. Чтобы побороть их, следует подробнее познакомиться с тригонометрическими функциями и формулами.

Понятия в тригонометрии

Чтобы разобраться в базовых понятиях тригонометрии, следует сначала определиться с тем, что такое прямоугольный треугольник и угол в окружности, и почему именно с ними связаны все основные тригонометрические вычисления. Треугольник, в котором один из углов имеет величину 90 градусов, является прямоугольным. Исторически эта фигура часто использовалась людьми в архитектуре, навигации, искусстве, астрономии. Соответственно, изучая и анализируя свойства этой фигуры, люди пришли к вычислению соответствующих соотношений её параметров.

Основные категории, связанные с прямоугольными треугольниками — гипотенуза и катеты. Гипотенуза — сторона треугольника, лежащая против прямого угла. Катеты, соответственно, это остальные две стороны. Сумма углов любых треугольников всегда равна 180 градусам.

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, который не изучается в школе, однако в прикладных науках типа астрономии и геодезии, учёные пользуются именно им. Особенность треугольника в сферической тригонометрии в том, что он всегда имеет сумму углов более 180 градусов.

Углы треугольника

В прямоугольном треугольнике синусом угла является отношение катета, противолежащего искомому углу, к гипотенузе треугольника. Соответственно, косинус — это отношение прилежащего катета и гипотенузы. Оба эти значения всегда имеют величину меньше единицы, так как гипотенуза всегда длиннее катета.

Тангенс угла — величина, равная отношению противолежащего катета к прилежащему катету искомого угла, или же синуса к косинусу. Котангенс, в свою очередь, это отношение прилежащего катета искомого угла к противолежащему кактету. Котангенс угла можно также получить, разделив единицу на значение тангенса.

Единичная окружность

Единичная окружность в геометрии — окружность, радиус которой равен единице. Такая окружность строится в декартовой системе координат, при этом центр окружности совпадает с точкой начала координат, а начальное положение вектора радиуса определено по положительному направлению оси Х (оси абсцисс). Каждая точка окружности имеет две координаты: ХХ и YY, то есть координаты абсцисс и ординат. Выбрав на окружности любую точку в плоскости ХХ, и опустив с неё перпендикуляр на ось абсцисс, получаем прямоугольный треугольник, образованный радиусом до выбранной точки (обозначим её буквой С), перпендикуляром, проведённым до оси Х (точка пересечения обозначается буквой G), а отрезком оси абсцисс между началом координат (точка обозначена буквой А) и точкой пересечения G. Полученный треугольник АСG — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, где AG — гипотенуза, а АС и GC — катеты. Угол между радиусом окружности АС и отрезком оси абсцисс с обозначением AG, определим как α (альфа). Так, cos α = AG/AC. Учитывая, что АС — это радиус единичной окружности, и он равен единице, получится, что cos α=AG. Аналогично, sin α=CG.

Кроме того, зная эти данные, можно определить координату точки С на окружности, так как cos α=AG, а sin α=CG, значит, точка С имеет заданные координаты (cos α;sin α). Зная, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, можно определить, что tg α = y/х, а ctg α = х/y. Рассматривая углы в отрицательной системе координат, можно рассчитать, что значения синуса и косинуса некоторых углов могут быть отрицательными.

Вычисления и основные формулы

Значения тригонометрических функций

Рассмотрев сущность тригонометрических функций через единичную окружность, можно вывести значения этих функций для некоторых углов. Значения перечислены в таблице ниже.

Простейшие тригонометрические тождества

Уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции присутствует неизвестное значение, называются тригонометрическими. Тождества со значением sin х = α, k — любое целое число:

1. sin х = 0, х = πk.
2. 2. sin х = 1, х = π/2 + 2πk.
3. sin х = -1, х = -π/2 + 2πk.
4. sin х = а, |a| > 1, нет решений.
5. sin х = а, |a| ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α + πk.

Тождества со значением cos х = а, где k — любое целое число:

1. cos х = 0, х = π/2 + πk.
2. cos х = 1, х = 2πk.
3. cos х = -1, х = π + 2πk.
4. cos х = а, |a| > 1, нет решений.
5. cos х = а, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Тождества со значением tg х = а, где k — любое целое число:

1. tg х = 0, х = π/2 + πk.
2. tg х = а, х = arctg α + πk.

Тождества со значением ctg х = а, где k — любое целое число:

1. ctg х = 0, х = π/2 + πk.
2. ctg х = а, х = arcctg α + πk.

Формулы приведения

Эта категория постоянных формул обозначает методы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента, то есть привести синус, косинус, тангенс и котангенс угла любого значения к соответствующим показателям угла интервала от 0 до 90 градусов для большего удобства вычислений.

Формулы приведения функций для синуса угла выглядят таким образом:

• sin(900 — α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 — α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 — α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 — α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Для косинуса угла:

• cos(900 — α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 — α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 — α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 — α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Использование вышеуказанных формул возможно при соблюдении двух правил. Во-первых, если угол можно представить как значение (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), значение функции меняется:

• с sin на cos;
• с cos на sin;
• с tg на ctg;
• с ctg на tg.

Значение функции остаётся неизменным, если угол может быть представлен как (π ± a) или (2π ± a).

Во-вторых, знак приведенной функции не изменяется: если он изначально был положительным, таким и остаётся. Аналогично с отрицательными функциями.

Формулы сложения

Эти формулы выражают величины синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов поворота через их тригонометрические функции. Обычно углы обозначаются как α и β.

Формулы имеют такой вид:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α * tg β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Эти формулы справедливы для любых величин углов α и β.

Формулы двойного и тройного угла

Тригонометрические формулы двойного и тройного угла — это формулы, которые связывают функции углов 2α и 3α соответственно, с тригонометрическими функциями угла α. Выводятся из формул сложения:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 — 2sin^2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 — tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα — 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α — 3cosα.
6. tg3α = (3tgα — tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Переход от суммы к произведению

Учитывая, что 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), упростив эту формулу, получаем тождество sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогично sinα — sinβ = 2sin(α — β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα — tgβ = sin(α — β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Переход от произведения к сумме

Эти формулы следуют из тождеств перехода суммы в произведение:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Формулы понижения степени

В этих тождествах квадратную и кубическую степени синуса и косинуса можно выразить через синус и косинус первой степени кратного угла:

• sin^2 α = (1 — cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα — sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 — 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Универсальная подстановка

Формулы универсальной тригонометрической подстановки выражают тригонометрические функции через тангенс половинного угла.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tg^2 x/2), при этом х = π + 2πn;
• cos x = (1 — tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 — tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
• ctg x = (1 — tg^2 x/2) / (2tgx/2), при этом х = π + 2πn.

Частные случаи

Частные случаи простейших тригонометрических уравнений приведены ниже (k — любое целое число).

Частные для синуса:

Частные для косинуса:

Частные для тангенса:

Частные для котангенса:

Теоремы

Теорема синусов

Существует два варианта теоремы — простой и расширенный. Простая теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При этом, a, b, c — стороны треугольника, и α, β, γ — соответственно, противолежащие углы.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В этом тождестве R обозначает радиус круга, в который вписан заданный треугольник.

Теорема косинусов

Тождество отображается таким образом: a^2 = b^2 + c^2 — 2*b*c*cos α. В формуле a, b, c — стороны треугольника, и α — угол, противолежащий стороне а.

Теорема тангенсов

Формула выражает связь между тангенсами двух углов, и длиной сторон, им противолежащих. Стороны обозначены как a, b, c, а соответствующие противолежащие углы — α, β, γ. Формула теоремы тангенсов: (a — b) / (a+b) = tg((α — β)/2) / tg((α + β)/2).

Теорема котангенсов

Связывает радиус вписанной в треугольник окружности с длиной его сторон. Если a, b, c — стороны треугольника, и А, В, С, соответственно, противолежащие им углы, r — радиус вписанной окружности, и p — полупериметр треугольника, справедливы такие тождества:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Прикладное применение

Тригонометрия — не только теоретическая наука, связанная с математическими формулами. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, и многие другие.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные понятия тригонометрии, с помощью которых математически можно выразить соотношения между углами и длинами сторон в треугольнике, и найти искомые величины через тождества, теоремы и правила.

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .

1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;

Показать решение

Решение

Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:

\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Это уравнение имеет 2 решения:

\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .

Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3

Пример 2

Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .

Показать решение

Решение

Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .

В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Навигация по странице.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое .

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .

Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.

Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.

Правила:

Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:

(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a . Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).

При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.

Для любого острого угла α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Пример-пояснение :

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

Решение .

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Убедимся в этом еще раз:

1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Подробнее о тригонометрии - см.раздел Алгебра)