Слово «пропорция» происходит от латинского корня и означает «соразмерность». Люди часто используют его в повседневной жизни. Говорят, например, о пропорциях человеческого тела или о пропорциях в кулинарии. Сегодня мы узнаем, что вкладывают в это слово математики.
Рассмотрим два отношения. Мы помним, что отношение - это частное двух чисел.
Заметим, что и в первом и во втором случае значение частного равно трем. Перед нами два равных отношения. Запишем равенство.
Пятнадцать так относится к пяти, как двадцать четыре к восьми. Такое равенство и называют пропорцией. Иногда это равенство записывают в виде равенства обыкновенных дробей.
Сформулируем определение: равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв пропорцию можно записать:
Отношение a к b равно отношению c к d . Иногда пропорцию читают по-другому: «a так относится к b , как c относитсяк d ». Участвующие в пропорции числа называют членами пропорции. Считают, что все члены отличны от нуля.
Числа a и d называют крайним членами пропорции, а числа b и c - средними членами. Действительно, в первом варианте записи числа b и c находятся посередине, а числа a и d с краю.
В рассмотренной ранее пропорции 
найдем произведение ее средних и крайних членов.
Заметим, что два полученных произведения равны.
Сформулируем основное свойство пропорции в общем виде.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
Верно и обратное утверждение.
Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
Найдем неизвестный член пропорции, то есть решим пропорцию.
Числа 0,5 и 13 - это крайние члены; числа a и 2 - это средние члены. Воспользуемся основным свойством пропорции.
Решим пропорцию.
Используя основное свойство пропорции, получим:
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель дроби на 10. Сократим полученную дробь на 4, а затем еще раз на 4.
Проверить являются ли данные пропорции верными:
В этом задании нужно проверить, действительно ли выполняется равенство между отношениями.
Найдем произведение средних и произведение крайних членов для каждой пропорции. Если полученные произведения равны, то пропорция верна. В противном же случае, пропорция является неверной.
верная пропорция, т. к.
неверная пропорция, т. к.
Если в верной пропорции поменять местами средние или крайние члены, то получившееся новые пропорции тоже верны .
Это так потому, что при такой перестановке произведение крайних и средних членов не изменяется.
Разберем пример. Из данной пропорции получить две новые, переставив крайние и средние члены. Сначала переставим средние члены (рис. 1).
Рис. 1. Перестановка средних членов
Действительно, произведение средних и крайних не изменилось, значит, полученная пропорция верна. Переставим крайние члены (рис. 2).
Рис. 2. Перестановка крайних членов
И в этом случае произведение средних и крайних не изменилось. Мы получили верную пропорцию.
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
- Математика ().
- Интернет-портал Math-portal.ru ().
Домашнее задание
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012: № 762 (а, г, д), № 765, № 777.
- Другие задания: № 767, № 775.
Равенство двух отношений называют пропорцией.
a :b =c :d . Это пропорция. Читают: а так относится к b , как c относится к d . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.
Пример пропорции : 1 2 : 3 = 16 : 4 . Это равенство двух отношений: 12:3=4 и 16:4=4 . Читают: двенадцать так относится к трем , как шестнадцать относится к четырем . Здесь 12 и 4 -крайние члены пропорции, а 3 и 16 - средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Для пропорции a :b =c :d или a /b =c /d основное свойство записывается так: a·d =b·c .
Для нашей пропорции 12 : 3 = 16 : 4 основное свойство запишется так: 12·4 =3·16. Получается верное равенство: 48=48.
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.
Примеры.
1) х: 20 = 2: 5 . У нас х и 5 — крайние члены пропорции, а 20 и 2 — средние.
Решение.
х = (20·2):5 — нужно перемножить средние члены (20 и 2 ) и результат разделить на известный крайний член (число 5 );
х = 40: 5 — произведение средних членов (40 ) разделим на известный крайний член (5 );
х = 8. Получили искомый крайний член пропорции.
Удобнее записывать нахождение неизвестного члена пропорции с помощью обыкновенной дроби. Вот как тогда запишется рассмотренный нами пример:
Искомый крайний член пропорции (х ) будет равен произведению средних членов (20 и 2 ), деленному на известный крайний член (5 ).
Сокращаем дробь на 5 (делим на 5 х .
Еще такие примеры на нахождение неизвестного крайнего члена пропорции.
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.
Примеры. Найти неизвестный средний член пропорции.
5) 9: х = 3: 14. Число 3 — известный средний член данной пропорции, числа 9 и 14 — крайние члены пропорции.
Решение.
х = (9·14):3 — перемножим крайние члены пропорции и результат разделим на известный средний член пропорции;
х= 136:3;
х=42.
Решение этого примера можно записать иначе:
Искомый средний член пропорции (х
) будет равен произведению крайних членов (9
и 14
), деленному на известный средний член (3
).
Сокращаем дробь на 3 (делим на 3 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х .
Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: « »
Еще такие примеры на нахождение неизвестного среднего члена пропорции.
Страница 1 из 1 1
Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:
что тоже самое (это разная форма записи).
Пример:
Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).
Основное правило пропорции:
a:b=c:d
произведение крайних членов равно произведению средних
то есть
a∙d=b∙c
*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.
Если рассматривать форму записи вида:
то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали
a∙d=b∙c
Как видите результат тот же.
Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.
Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.
Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:
Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.
Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:
1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях " " и " ".
2. Многие формулы заданы в виде пропорций:
> теорема синусов
> отношение элементов в треугольнике
> теорема тангенсов
> теорема Фалеса и другие.
3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.
4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:
— часы в минуты (и наоборот).
— единицы объёма, площади.
— длины, например мили в километры (и наоборот).
— градусы в радианы (и наоборот).
здесь без составления пропорции не обойтись.
Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:
Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.
В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:
Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.
Иксу соответствует 35 процентов. Значит,
700 – 100%
х – 35 %
Решаем
Ответ: 245
Переведём 50 минут в часы.
Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит
1 – 60
х – 50
Решаем:
То есть 50 минут это пять шестых часа.
Ответ: 5/6
Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?
Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:
Одной миле соответствует 1,6 километра.
Икс миль это три километра.
1 – 1,6
х – 3
Ответ: 1,875 миль
Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.
Переведём 65 градусов в радианную меру.
Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.
Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.
Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.
Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан. изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!
Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ - здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!
Всего доброго!
С уважением, Александр
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Отношение двух чисел
Определение 1
Отношением двух чисел является их частное.
Пример 1
отношение $18$ к $3$ может быть записано как:
$18\div 3=\frac{18}{3}=6$.
отношение $5$ к $15$ может быть записано как:
$5\div 15=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.
С помощью отношения двух чисел можно показать:
- во сколько раз одно число превышает другое;
- какую часть представляет одно число от другого.
При составлении отношения двух чисел в знаменателе дроби записывают то число, с которым проводится сравнение.
Чаще всего такое число следует после слов «по сравнению с...» или предлога «к...».
Вспомним основное свойство дроби и применим его к отношению:
Замечание 1
При умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, получаем отношение, которое равно исходному.
Рассмотрим пример, который иллюстрирует использование понятия отношения двух чисел.
Пример 2
Количество осадков в предыдущем месяце составляло $195$ мм, а в текущем месяце – $780$ мм. Во сколько раз увеличилось количество осадков в текущем месяце по сравнению с предыдущим месяцем?
Решение .
Составим отношение количества осадков в текущем месяце к количеству осадков в предыдущем месяце:
$\frac{780}{195}=\frac{780\div 5}{195\div 5}=\frac{156\div 3}{39\div 3}=\frac{52}{13}=4$.
Ответ : количество осадков в текущем месяце в $4$ раза больше, чем в предыдущем.
Пример 3
Найти сколько раз число $1 \frac{1}{2}$ содержится в числе $13 \frac{1}{2}$.
Решение .
$13 \frac{1}{2}\div 1 \frac{1}{2}=\frac{27}{2}\div \frac{3}{2}=\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{27}{3}=9$.
Ответ : $9$ раз.
Понятие пропорции
Определение 2
Пропорцией называется равенство двух отношений:
$a\div b=c\div d$
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
Пример 4
$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,
$\frac{8}{2}=\frac{36}{9}$, $\frac{10}{40}=\frac{9}{36}$, $\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$.
В пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (или $a:b = с\div d$) числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ – средними членами пропорции.
Правильную пропорцию можно преобразовать следующим образом:
Замечание 2
Произведение крайних членов правильной пропорции равно произведению средних членов:
$a \cdot d=b \cdot c$.
Данное утверждение является основным свойством пропорции .
Справедливо и обратное утверждение:
Замечание 3
Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная.
Замечание 4
Если в правильной пропорции переставить средние члены или крайние члены, то пропорции, которые получатся, также будут правильными.
Пример 5
$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,
$\frac{2}{8}=\frac{9}{36}$, $\frac{40}{10}=\frac{36}{9}$, $\frac{75}{15}=\frac{5}{1}$.
С помощью данного свойства легко из пропорции найти неизвестный член, если известны остальные три:
$a=\frac{b \cdot c}{d}$; $b=\frac{a \cdot d}{c}$; $c=\frac{a \cdot d}{b}$; $d=\frac{b \cdot c}{a}$.
Пример 6
$\frac{6}{a}=\frac{16}{8}$;
$6 \cdot 8=16 \cdot a$;
$16 \cdot a=6 \cdot 8$;
$16 \cdot a=48$;
$a=\frac{48}{16}$;
Пример 7
$\frac{a}{21}=\frac{8}{24}$;
$a \cdot 24=21 \cdot 8$;
$a \cdot 24=168$;
$a=\frac{168}{24}$;
$3$ садовника – $108$ деревьев;
$x$ садовников – $252$ дерева.
Составим пропорцию:
$\frac{3}{x}=\frac{108}{252}$.
Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:
$b=\frac{a \cdot d}{c}$;
$x=\frac{3 \cdot 252}{108}$;
$x=\frac{252}{36}$;
Ответ : для обрезки $252$ деревьев потребуется $7$ садовников.
Чаще всего свойства пропорции используют на практике в математических вычислениях в случаях, когда необходимо вычислить значение неизвестного члена пропорции, если известны значения трех остальных членов.
§ 125. Понятие о пропорции.
Пропорцией называется равенство двух отношений. Вот примеры равенств, называемых пропорциями:
Примечание. Наименования величин в пропорциях не указаны.
Пропорции принято читать следующим образом: 2 так относится к 1 (единице), как 10 относится к 5 (первая пропорция). Можно читать иначе, например: 2 во столько раз больше 1, во сколько раз 10 больше 5. Третью пропорцию можно прочесть так: - 0,5 во столько раз меньше 2, во сколько раз 0,75 меньше 3.
Числа, входящие в пропорцию, называются членами пропорции . Значит, пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними , а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Значит, в первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними членами, а числа 1 и 10 - средними членами пропорции.
§ 126. Основное свойство пропорции.
Рассмотрим пропорцию:
Перемножим отдельно её крайние и средние члены. Произведение крайних 6 4 = 24, произведение средних 3 8 = 24.
Рассмотрим другую пропорцию: 10: 5 = 12: 6. Перемножим и здесь отдельно крайние и средние члены.
Произведение крайних 10 6 = 60, произведение средних 5 12 = 60.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.
В общем виде основное свойство пропорции записывается так: ad = bc .
Проверим его на нескольких пропорциях:
1) 12: 4 = 30: 10.
Пропорция эта верна, так как равны отношения, из которых она составлена. Вместе с тем, взяв произведение крайних членов пропорции (12 10) и произведение средних её членов (4 30), мы увидим, что они равны между собой, т. е.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Пропорция верна, в чём легко убедиться, упростив первое и второе отношения. Основное свойство пропорции примет вид:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Нетрудно убедиться в том, что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение двух каких-нибудь чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.
Пусть у нас имеется равенство, в которое входят четыре числа, попарно перемноженные:
эти четыре числа могут быть членами пропорции, которую нетрудно написать, если принять первое произведение за произведение крайних членов, а второе - за произведение средних. Изданного равенства можно составить, например, такую пропорцию:
Вообще, из равенства ad = bc можно получить следующие пропорции:
Проделайте самостоятельно следующее упражнение. Имея произведение двух пар чисел, напишите пропорцию, соответствующую каждому равенству:
а) 1 6 = 2 3;
б) 2 15 = б 5.
§ 127. Вычисление неизвестных членов пропорции.
Основное свойство пропорции позволяет вычислить любой из членов пропорции, если он неизвестен. Возьмём пропорцию:
х : 4 = 15: 3.
В этой пропорции неизвестен один крайний член. Мы знаем, что во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. На этом основании мы можем написать:
x 3 = 4 15.
После умножения 4 на 15 мы можем переписать это равенство так:
х 3 = 60.
Рассмотрим это равенство. В нём первый сомножитель неизвестен, второй сомножитель известен и произведение известно. Мы знаем, что для нахождения неизвестного сомножителя достаточно произведение разделить на другой (известный) сомножитель. Тогда получится:
х = 60: 3, или х = 20.
Проверим найденный результат подстановкой числа 20 вместо х в данную пропорцию:
Пропорция верна.
Подумаем, какие действия нам пришлось выполнить для вычисления неизвестного крайнего члена пропорции. Из четырёх членов пропорции нам был неизвестен только один крайний; два средних и второй крайний были известны. Для нахождения крайнего члена пропорции мы сначала перемножили средние члены (4 и 15), а затем найденное произведение разделили на известный крайний член. Сейчас мы покажем, что действия не изменились бы, если бы искомый крайний член пропорции стоял не на первом месте, а на последнем. Возьмём пропорцию:
70: 10 = 21: х .
Запишем основное свойство пропорции: 70 х = 10 21.
Перемножив числа 10 и 21, перепишем равенство в таком виде:
70 х = 210.
Здесь неизвестен один сомножитель, для его вычисления достаточно произведение (210) разделить на другой сомножитель (70),
х = 210: 70; х = 3.
Таким образом, мы можем сказать, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний.
Перейдём теперь к вычислению неизвестного среднего члена. Возьмём пропорцию:
30: х = 27: 9.
Напишем основное свойство пропорции:
30 9 = х 27.
Вычислим произведение 30 на 9 и переставим части последнего равенства:
х 27 = 270.
Найдём неизвестный сомножитель:
х = 270: 27, или х = 10.
Проверим подстановкой:
30: 10 = 27: 9. Пропорция верна.
Возьмём ещё одну пропорцию:
12: б = х : 8. Напишем основное свойство пропорции:
12 . 8 = 6 х . Перемножая 12 и 8 и переставляя части равенства, получим:
6 х = 96. Находим неизвестный сомножитель:
х = 96: 6, или х = 16.
Таким образом, каждый средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний.
Найдите неизвестные члены следующих пропорций:
1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .
Два последних правила в общем виде можно записать так:
1) Если пропорция имеет вид:
х: а = b: с , то
2) Если пропорция имеет вид:
а: х = b: с , то
§ 128. Упрощение пропорции и перестановка её членов.
В настоящем параграфе мы выведем правила, позволяющие упрощать пропорцию в том случае, когда в неё входят большие числа или дробные члены. K числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относятся следующие:
1. Одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз.
П р и м е р. 40: 10 = 60: 15.
Увеличив в 3 раза оба члена первого отношения, получим:
120:30 = 60: 15.
Пропорция не нарушилась.
Уменьшив в 5 раз оба члена второго отношения, получим:
Получили опять правильную пропорцию.
2. Одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз.
Пример. 16:8 = 40:20.
Увеличим в 2 раза предыдущие члены обоих отношений:
Получили правильную пропорцию.
Уменьшим в 4 раза последующие члены обоих отношений:
Пропорция не нарушилась.
Два полученных вывода можно кратко высказать так: Пропорция не нарушится, если мы одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.
Например, уменьшив в 4 раза 1-й крайний и 2-й средний члены пропорции 16:8 = 40:20, получим:
3. Одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз. Пример. 36:12 = 60:20. Увеличим все четыре числа в 2 раза:
Пропорция не нарушилась. Уменьшим все четыре числа в 4 раза:
Пропорция верна.
Перечисленные преобразования дают возможность, во-первых, упрощать пропорции, а во-вторых, освобождать их от дробных членов. Приведём примеры.
1) Пусть имеется пропорция:
200: 25 = 56: x .
В ней членами первого отношения являются сравнительно большие числа, и если бы мы пожелали найти значение х , то нам пришлось бы выполнять вычисления над этими числами; но мы знаем, что пропорция не нарушится, если оба члена отношения разделить на одно и то же число. Разделим каждый из них на 25. Пропорция примет вид:
8:1 = 56: x .
Мы получили, таким образом, более удобную пропорцию, из которой х можно найти в уме:
2) Возьмём пропорцию:
2: 1 / 2 = 20: 5.
В этой пропорции есть дробный член (1 / 2), от которого можно освободиться. Для этого придётся умножить этот член, например, на 2. Но о д и н средний член пропорции мы не имеем права увеличивать; нужно вместе с ним увеличить какой-нибудь из крайних членов; тогда пропорция не нарушится (на основании первых двух пунктов). Увеличим первый из крайних членов
(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, или 4: 1 = 20:5.
Увеличим второй крайний член:
2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), или 2: 1 = 20: 10.
Рассмотрим ещё три примера на освобождение пропорции от дробных членов.
Пример 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.
Приведём дроби к общему знаменателю:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим:
Пример 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 . Приведём дроби к общему знаменателю:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Умножим оба последующих члена на 14, получим: 12:15 = 16:20.
Пример 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6 .
Умножим все члены пропорции на 48:
24: 1 = 960: 40.
При решении задач, в которых встречаются какие-нибудь пропорции, часто приходится для разных целей переставлять члены пропорции. Рассмотрим, какие перестановки являются законными, т. е. не нарушающими пропорции. Возьмём пропорцию:
3: 5 = 12: 20. (1)
Переставив в ней крайние члены, получим:
20: 5 = 12:3. (2)
Переставим теперь средние члены:
3:12 = 5: 20. (3)
Переставим одновременно и крайние, и средние члены:
20: 12 = 5: 3. (4)
Все эти пропорции верны. Теперь поставим первое отношение на место второго, а второе - на место первого. Получится пропорция:
12: 20 = 3: 5. (5)
В этой пропорции мы сделаем те же перестановки, какие делали раньше, т. е. переставим сначала крайние члены, затем средние и, наконец, одновременно и крайние, и средние. Получатся ещё три пропорции, которые тоже будут справедливыми:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Итак, из одной данной пропорции путём перестановки можно получить ещё 7 пропорций, что вместе с данной составляет 8 пропорций.
Особенно легко обнаруживается справедливость всех этих пропорций при буквенной записи. Полученные выше 8 пропорций принимают вид:
а: b = с: d; c: d = a: b ;
d: b = с: a; b: d = a: c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Легко видеть, что в каждой из этих пропорций основное свойство принимает вид:
ad = bc.
Таким образом, указанные перестановки не нарушают справедливости пропорции и ими можно пользоваться в случае надобности.
